Zad. 1. Wykaż, że jeśli x i y są dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi, to kwadrat liczby xy+1 można przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech liczb naturalnych.
Zad. 2. Jakie jest największe możliwe pole prostokąta, którego wierzchołki leżą na bokach trójkąta równobocznego o boku długości a?
Zad. 3. W prostopadłościanie wymiarach a, b, c zachodzi 1/a = 1/b + 1/c. Wymiar a zmniejszono o 10%. O ile procent zmniejszyło się pole powierzchni tej bryły?
W kwietniu punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Emilia Cichowska II LO Lubin, Jagoda Janiś LO Góra, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Paweł Prasal III LO Leszno, Gabriela Pułecka V LO Wrocław, Mieszko Ratajczak II LO Głogów, Cezary Rębiś ZSE Radom, Oliwier Roszkowski X LO Wrocław;
- 2,75 – Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk;
- 2 – Liliana Ottlik III LO Wrocław;
- 1 – Paulina Wójcik LO Dobrzeń Wielki, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola, Stanisław Pająk LO Żary.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Niech x=n, y=n+1 i n ϵ N. Wówczas (xy+1)2 = [n(n+1)+1]2 = [n(n+1)]2+2n(n+1)+1 = [n(n+1)]2+n2+n2+2n+1 = [n(n+1)]2+n2+(n+1)2.
Zad. 2. Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a jest równa a√3/2, a jego pole wynosi a2√3/4. Prostokąt z zadania ma jeden bok na boku trójkąta. Niech długość tego boku wynosi b, a drugiego h. Na bokach tego prostokąta powstają trzy trójkąty. Trójkąt na górze jest trójkątem równobocznym o boku długości b, natomiast dwa trójkąty z lewej i prawej strony tworzą trójkąt równoboczny o wysokości h i podstawie długości a–b. Mamy więc h = √3/2·(a−b). Wówczas pole prostokąta jest równe bh = √3/2·b(a−b). Funkcja kwadratowa zmiennej b: b(a−b) ma miejsca zerowe b=0 i b=a. Funkcja ta przyjmuje największą wartość pośrodku między miejscami zerowymi, czyli dla b = a/2. Pole największego prostokąta jest więc równe bh = √3/8·a2. Maksymalny prostokąt pokrywa więc połowę pola trójkąta równobocznego.
Zad. 3. Po przekształceniach wyrażenia z zadania otrzymujemy a=bc/(b+c). Pole powierzchni zmniejszonego prostopadłościanu wynosi 2⋅0,9ab+2⋅0,9ac+2bc = 1,8a(b+c)+2bc = 1,8⋅bc/(b+c)⋅(b+c)+2bc = 1,8bc+2bc = 3,8bc. Pole powierzchni początkowego prostopadłościanu jest równe 2ab+2ac+2bc = 2a(b+c)+2bc = 2⋅ bc/(b+c)⋅(b+c)+2bc = 4bc. Pole powierzchni bryły zmniejszyło się o (4bc–3,8bc)/4bc procent, czyli o 5%.
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
