Zad. 1. Czy istnieje taka liczba dwucyfrowa, że różnica między nią zapisaną wprost i wspak jest liczbą pierwszą? Podaj przykład lub uzasadnij, że takiej liczby nie ma.
Zad. 2. Wypisujemy kolejne liczby naturalne od 1 do n wzdłuż okręgu. Zaczynając od 1, skreślamy co drugą liczbę, aż pozostanie tylko jedna. Dla jakich wartości n na końcu zostanie 1?
Zad. 3. Kula mieści się dokładnie w sześcianie, sześcian zaś umieszczamy w walcu tak, aby dotykał jego powierzchni bocznej oraz górnej i dolnej podstawy. Jaką część walca zajmuje kula?
W marcu punkty zdobyli:
- 3 – Emilia Cichowska II LO Lubin, Cezary Rębiś ZSE Radom, Oliwier Roszkowski X LO Wrocław;
- 2,5 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Mikołaj Idzikowski I LO Ostrzeszów, Jagoda Janiś LO Góra, Liliana Ottlik III LO Wrocław, Lena Owczarek ZS Nr1 Żychlin, Stanisław Pająk LO Żary, Paweł Prasal III LO Leszno, Gabriela Pułecka V LO Wrocław, Mieszko Ratajczak II LO Głogów;
- 2 – Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 1,5 – Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Brajan Woźniak II LO Oleśnica.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Oznaczmy przez a cyfrę dziesiątek szukanej liczby dwucyfrowej, a przez b - jej cyfrę jedności. Wówczas tę liczbę zapiszemy jako 10a+b, a liczbę o odwróconej kolejności cyfr jako 10b+a. Z warunków zadania otrzymujemy (10a+b)–(10b+a) = 9a–9b = 9(a–b). Liczba ta jest wielokrotnością 9, zatem nie może być pierwsza.
Zad. 2. Na początku mamy na okręgu n liczb: 1, 2, 3, …, n. Jeśli n=1, warunki zadania są spełnione. Jeśli n jest nieparzyste i n≥3, to 1 zostanie skreślone na początku drugiego okrążenia. Niech zatem n jest liczbą parzystą i n=2m. Wówczas na początku drugiego okrążenia zostanie m liczb: 1, 3, 5, …, 2m–1. Aby liczba 1 nie została skreślona następnym razem, albo m musi być równe 1, czyli n=2, albo m musi być parzyste. Kontynuując to rozumowanie, stwierdzamy że 1 będzie ostatnią nieskreśloną liczbą wtedy i tylko wtedy, gdy n jest potęgą liczby 2 (w tym zerową lub pierwszą).
Zad. 3. Oznaczmy przez a długość krawędzi sześcianu. Wówczas promień kuli wynosi rk = 1/2a, a promień walca rw = 1/2a√2. Objętości kuli i walca wynoszą wtedy odpowiednio Vk = 4/3π(1/2a)3 = 1/6πa3 i Vw = π(1/2a√2)2·a = 1/2πa3, a stąd Vk:Vw = 1/3.
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
