Zad. 1. Wyznacz trzy ostatnie cyfry zapisu dziesiętnego liczby 202511+202512+...+20252026.
Zad. 2. Udowodnij, że istnieje 2025 kolejnych dodatnich liczb całkowitych, które nie są postaci a2b3, gdzie a i b są dodatnimi liczbami całkowitymi. Wskazówka: może przydać się chińskie twierdzenie o resztach.
Zad. 3. Asia i Basia grają w następującą grę: na przemian piszą na tablicy cyfry (od lewej do prawej), aż do uzyskania liczby 2025-cyfrowej. Asia wygrywa, jeśli uzyskana liczba będzie mieć dzielnik postaci 17...7 (gdzie liczba siódemek jest równa co najmniej 1). Kto ma strategię wygrywającą w tej grze? Na czym ona polega?
W tym miesiącu za nadesłane rozwiązania punktów nie przyznano.
Zad. 1. Mamy 2025 ≡ 25 (mod 1000), a od potęgi drugiej wzwyż mamy 25ⁿ ≡ 625 (mod 1000). Szukana suma obejmuje potęgi od 11 do 2026, czyli 2016 wyrazów po 625 każdy, a 2016·625 to wielokrotność 1000, bowiem 2016 jest podzielne przez 24. Zatem ostatnie trzy cyfry zadanej sumy to 000.
Zad. 2. Zauważmy, że jeżeli liczba a2b3 jest podzielna przez liczbę pierwszą p, to co najmniej jedna z liczb a, b jest podzielna przez p. W konsekwencji liczba a2b3 jest podzielna przez p2. Zadanie będzie rozwiązane, jeżeli wykażemy istnienie takich 2015 kolejnych liczb całkowitych dodatnich, że każda z nich jest podzielna przez pewną liczbę pierwszą, ale nie przez kwadrat tej liczby pierwszej. Oznaczmy n-tą liczbę pierwszą przez pn. Wówczas wystarczy znaleźć rozwiązanie układu kongruencji: k ≡ p1 (mod p12), k+1 ≡ p2 (mod p22), ..., k+2014 ≡ p2015 (mod p20152). Chińskie twierdzenie o resztach gwarantuje istnienie rozwiązania takiego układu kongruencji.
Zad. 3. Asia ma strategię wygrywającą. Niech an oznacza liczbę utworzoną przez dopisanie n siódemek do jedynki z prawej strony. Twierdzimy, że przy i-tym ruchu Asi (gdzie 1 ≤ i ≤ 1011) można zagwarantować, że końcowa liczba nie będzie podzielna przez a2023−2k ani a2024−2k. Rzeczywiście, na tym etapie możliwe wartości N mieszczą się w przedziale długości 102024−2k, który może zawierać co najwyżej 8 wielokrotności a2023−2k i 1 wielokrotność a2024−2k, więc można wybrać taką cyfrę, która nie prowadzi do wielokrotności żadnej z tych liczb. To kończy rozwiązanie.
