Zad. 1. Ile jest liczb pierwszych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 2?
Zad. 2. Jaka jest największa kwota, którą można uskładać z polskich monet o nominałach nieprzekraczających 1 zł, przy czym z żadnego podzestawu tych monet nie da się uskładać 1 zł?
Zad. 3. Kurka wodna ma dwie nogi, kurka jadalna ma jedną nogę, a kurek czerwony - 6 nóg. Wszystkie kurki hodowane przez Zosię mają razem 50 nóg, a jest ich 18, przy czym kurków czerwonych jest dwa razy mniej niż kurek wodnych i jadalnych razem. Ile Zosia ma kurków? Gdzie trzyma swoje wszystkie kurki?
W marcu punkty zdobyli:
- 3 – Jakub Derewecki SP 50 Wrocław, Adam Gajdzis SP 107 Wrocław, Alicja Picińska 64 Wrocław, Yaraslau Sialiuk SP 82 Wrocław, Wiktor Szwarczyński SP Szkoła w Chmurze Poznań, Jan Węgrzyn SP 44 Wrocław, Ignacy Włodarski SP 36 Wrocław;
- 2 – Szczepan Buczkowski SP 2 Ożarów Mazowiecki, Zuzanna Garbecka SP 2 Szczytno, Kuba Jaremko SP ?, Claudia Jończyk SP Jedlnia Letnisko, Paweł Jarzyński SP 13 Zielona Góra, Darya Karnitskaya SP 107 Wrocław, Adam Kosarzycki SP 16 Wrocław, Szymon Michowski SP Jedlnia-Letnisko, Julia Mosionek SP Jedlnia-Letnisko, Natalia Pisz SP Dobrzeń Wielki, Stanisław Solski SP 13 Zielona Góra, Filip Staszkiewicz SP 50 Wrocław, Lena Szkirpan SP 50 Wrocław, Adam Teleśnicki SP 50 Wrocław, Emilia Wahl SP Popielów, Alicja Wróbel SP Dobrzeń Wielki, Dawid Zysk SP 19 Legnica;
- 1,5 – Amelia Łakomiec SP 50 Wrocław, Oksana Manowska SP 2 Szczytno, Hanna Wójcik SP 50 Wrocław, Igor Pac SP 2 Szczytno, Kacper Ziółek SP 2 Szczytno;
- 1 –Anita Głowacz SP Popielów, Markus Mazurkiewicz SP Popielów, Michał Wróblewski SP Bielkówko.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Najmniejsza liczbą spełniającą warunki zadania jest 2. Większe liczby pierwsze są nieparzyste, a wobec warunków zadania ich ostatnią cyfrą musi być 1, pierwszą cyfrą także musi być 1, a pozostałe muszą być zerami (dlaczego?). Szukane liczby tej postaci mniejsze od 10000 to: 11, 101 i 1001, ale 1001 nie jest pierwsze, bo jest iloczynem 7·11·13. Są zatem trzy liczby spełniające warunki zadania: 2, 11 i 101.
Zad. 2. Mamy do dyspozycji monety o nominałach 50 gr, 20 gr, 10 gr, 5 gr, 2 gr i 1 gr. Biorąc jedną monetę 50 gr i 4 monety 20 gr, otrzymamy 1,30 zł i z żadnego podzbioru tych monet nie da się uskładać 1 zł. Dalej biorąc 5 gr i 4 monety 2 gr, otrzymamy 13 gr i z żadnego podzbioru tych monet nie uskładamy 10 gr. Wówczas suma całego zestawu wynosi 1,43 zł. Wyższej sumy nie da się uzyskać. Zacznijmy bowiem od nominałów "grubszych", tj. 50-, 20- i 10-groszowych. Z samych monet 20 gr można uzyskać maksymalnie 80 gr, a z samych monet 10 gr - maksymalnie 90 gr, zatem jedna moneta musi mieć nominał 50 gr (dwie już nie). Ale wówczas maksymalna możliwa suma to 1,30 zł (= 50+20+20+20+20), a dołożenie jeszcze 10 gr da podzbiór z sumą 1 zł (= 50+20+20+10). Przechodząc do "drobniejszych monet", rozumujemy podobnie. Z samych 2 gr możemy uzyskać maksymalnie 8 gr, a z samych 1 gr - maksymalnie 9 gr, czyli potrzebna jest jedna moneta 5 gr. Wówczas maksymalna możliwa do uzyskania suma to 13 gr (= 5+2+2+2+2), a dołożenie jeszcze 1 gr da podzbiór z sumą 10 gr, a w konsekwencji z sumą 1 zł.
Zad. 3. Oznaczmy liczbę kurek przez A (wodne w + jadalne j), a liczbę kurków przez B. Z treści zadania wynika, że 18 = A+B = A+A/2, zatem 36 = 2A+A = 3A. Stąd A=12 i B=6. Wszystkie kurki mają 50 nóg, na co składa się 2w+j+6B = w+A+6B = w+12+6·6 = w+48. Stąd w=2 i dalej j=10 i B=6. Zosia trzyma swoje kurki wodne w klatce/kurniku/wolierze (bo to ptaki), jadalne - w kuwecie/doniczce/na grządce (bo to grzyby), a czerwone - w akwarium ze słoną wodą (bo to ryby morskie).
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
