Zad. 1. Jaka jest ostatnia cyfra liczby 22023 + 42024?
Zad. 2. Do suszarni przywieziono 16 ton zboża o wilgotności 10%. Ile będzie ważyło zboże po wysuszeniu, gdy wilgotność spadnie do 4%?
Zad. 3. Z pewnej liczby jednakowych prostopadłościennych klocków o wymiarach 1 cm x 2 cm x 3cm zbudowano prostopadłościan, kładąc je jeden na drugim. Okazało się, że suma długości wszystkich krawędzi otrzymanego prostopadłościanu ma tyle samo centymetrów, ile centymetrów sześciennych ma jego objętość. Oblicz pole powierzchni otrzymanego prostopadłościanu.
W marcu punkty zdobyli:
- 3 –Anna Frankowska SP 139 Warszawa, Antoni Grębowiec SP 44 Wrocław, Aleksander Masztalski SP 3 Mikołów, Szymon Michalik SP 3 Przymierza Rodzin Warszawa, Ewa Nowakowska SP Strzelce, Karolina Piątkowska SP 16 Wrocław, Gabriela Pułecka SP 2 Brzeg Dolny, Julia Strzelecka SP 50 Wrocław;
- 2 – Nadia Dymkowska SP 50 Wrocław, Yaraslau Sialiuk SP 82 Wrocław;
- 1 – Alicja Picińska SP 64 Wrocław, Ignacy Włodarski SP 36 Wrocław.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Ostatnią cyfrą liczby 2n jest:
- 6, jeżeli n=4k,
- 2, jeżeli n=4k+1,
- 4, jeżeli n=4k+2,
- 8, jeżeli n=4k+3, gdzie k ∈ C+.
Ponieważ 2023 = 4·505+3 oraz 42024 = (22)2024 = 24048, oraz 4048 = 4·1012, oraz 6+8=14, ostatnią cyfrą 22023+42024 jest 4.
Zad. 2. Mamy 16 ton zboża o wilgotności 10%, zatem suche zboże (o wilgotności 0%) waży 0,9·16 = 14,4 tony. Oznaczmy przez x masę zboża o wilgotności 4%. Wówczas 0,96·x=14,4, skąd x = 15 ton.
Zad. 3. Oznaczmy przez x, y i z wymiary klocka, przy czym z jest wysokością, a x i y - wymiarami podstawy. Przez n oznaczmy liczbę klocków. Wymiary x, y, z to liczby 1, 2, 3 ustawione w nieznanej kolejności (podstawa może mieć wymiary 1 na 2 lub 1 na 3, lub 2 na 3). Z warunków zadania otrzymujemy 4x+4y+4nz = nxyz, czyli 4x+4y+4nz = 6n, a stąd 4x+4y = 6n–4nz. Z ostatniego równania wynika, że z=1, bo w pozostałych przypadkach 4x+4y > 0 i 6n–4nz < 0. Zatem 4x+4y = 2n, skąd 4(2+3) = 2n, czyli n=10. Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe 2xy+2nxz+2nyz = 2xy+20(x+y) = 112 cm2.
