Zad. 1. Dla jakich wartości parametru m równanie x2+2mx+1 = 0 ma dwa pierwiastki, między którymi znajduje się liczba 1?
Zad. 2. Podaj odpowiednie założenia i rozwiąż graficznie nierówność logx (x+y) > 1.
Zad. 3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym F1 wszystkie ściany boczne i podstawa mają takie samo pole. Płaszczyzną równoległą do podstawy odcięto mniejszy ostrosłup F2 tak, że pozostała część ma 6 ścian, z których 5 ma jednakowe pola. Oblicz stosunek objętości F1 do F2.
W maju punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Jagoda Janiś LO Góra, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów;
- 2,75 – Paweł Prasal III LO Leszno, Gabriela Pułecka V LO Wrocław, Jadwiga Turowska LO Toruń, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola
- 2,5 – Piotr Kulczyk LO Mielec;
- 2 – Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk;
- 1 – Zofia Rubaszewska I LO Olesnica.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Z założenia ∆>0, czyli 4m2–4>0, m ∈ (-∞, -1) ) ∪ (1, ∞). Podany warunek możemy zapisać w postaci alternatywy nierówności: x1<1<x2 lub x2<1<x1. Jest to równoważne nierówności (1–x1)(1–x2)<0 (dlaczego?), czyli 1–(x1+x2)+x1x2 < 0. Stosując wzory Viete’a, otrzymujemy m<-1. Biorąc pod uwagę założenia, otrzymujemy m ∈ (-∞, -1).
Zad. 2. Z własności logarytmów mamy x ϵ (0, 1) ∪ (1, ∞) i x+y>0, czyli y>-x. Dla x ϵ (0, 1) mamy logx (x+y) > logx x, skąd x+y<x (dlaczego?), czyli y<0.
Zad. 3. Wprowadźmy oznaczenia: H – wysokość F1, u – wysokość F2, h – wysokość ściany bocznej F1, w – wysokość ściany bocznej F2, a – krawędź podstawy F1, x krawędź podstawy F2. Z równości pól ścian ostrosłupa F1 wynika a2=0,5ah, czyli h=2a. Ściany boczne F1 i F2 są trójkątami podobnymi, więc x:w=a:h, czyli x:w=a:2a, czyli w=2x. Pięć ścian o jednakowym polu to cztery ściany boczne (trapezy) i mniejsza podstawa ostrosłupa ściętego. Otrzymujemy zależność x2 = (a+x)/2(h–w) = (a+x)/2(2a–2x) = (a+x)(a–x) = a2–x2, skąd x = a√2/2. Stosunek objętości wynosi (1/3a2h):(1/3x2w). Po odpowiednich podstawieniach i przekształceniach stosunek tych objętości wynosi 2√2.
