Zad. 1. Oblicz cos20°·cos40°·cos60°·cos80°. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Zad. 2. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 72√3, a jego pole powierzchni bocznej wynosi 144. Na każdej krawędzi dolnej podstawy tego graniastosłupa zaznaczono dwa punkty, które dzielą tę krawędź na trzy równe części, a połączone tworzą sześciokąt. Wierzchołki tego sześciokąta połączono ze środkiem jednej z krawędzi bocznych, tworząc ostrosłup. Jaka jest jego objętość? Jaką nazwę nosi ten ostrosłup? osłup?
Zad. 3. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba 19p+ 1 jest sześcianem pewnej liczby całkowitej.
W czerwcu punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Jagoda Janiś LO Góra, Paweł Prasal III LO Leszno, Gabriela Pułecka V LO Wrocław, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2,75 – Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Piotr Kulczyk LO Mielec,Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Jadwiga Turowska LO Toruń.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Skorzystamy z tożsamości 2sinαcosα=sin2α. Oznaczmy x=cos20°.cos40°.cos80°. Skąd 8sin20°.x=4(2sin20°.cos20°).cos40°.cos80°=4sin40°.cos40°.cos80°=2(2sin40°.cos40°).cos80°
=2sin80°.cos80°=sin160°=sin(180°-20°)=sin20°. Zatem 8sin20°.x= sin20°, czyli x=1/8. Wobec tego cos20°.cos40°.cos60°.cos80°=cos60°.1/8=1/2.1/8=1/16.
Zad. 2. Niech a krawędź podstawy, H wysokość graniastosłupa. Otrzymujemy układ równań 1/4a2H√3=72√3 i 3aH=144, skąd a=6 i H=8. Otrzymujemy ostrosłup pochyły o wysokości 4 i podstawie sześciokąta foremnego o krawędzi 2. Objętość ostrosłupa wynosi 1/3.1/4.6.22√3.4=8√3
Zad. 3. Szukamy liczb pierwszych p, dla których 19p+1=n3 dla pewnej liczby całkowitej n. Wtedy: 19p=n3-1=(n-1)(n2+n+1). Ponieważ p jest pierwsza, a 19p ma tylko dzielniki pierwsze 19 i p. Dla n ≥2 mamy: n2+n+1>n-1 oraz n2+n+1 musi dzielić 19p. Dla n-1=1, n=2, więc 19+1=8, czyli 19p=7 jest niemożliwe. Zatem niech n-1=19, wtedy n=20, a 19p=7999, czyli p=421 i jest to liczba pierwsza.
