Zad. 1. Mamy do dyspozycji kostki sześcienne wykonane z tego samego materiału: duże o krawędzi 3 cm, średnie o krawędzi 2 cm i małe o krawędzi 1 cm. Na jednej szalce wagi znajdują się dwie duże kostki, a na drugiej - dwie małe. Aby doprowadzić wagę do równowagi, należy dołożyć 31 kostek małych lub średnich. Ile spośród nich może być małych, a ile średnich?
Zad. 2. Pewne zawody sportowe odbyły się po raz pierwszy w XIX wieku, w roku, który jest liczbą podzielną przez 24 i mającą sumę cyfr równą 24. Odbyły się one również w XX wieku w roku mającym te same własności. Ile lat minęło między tymi zawodami?
Zad. 3. Nadia ma pudełko na słodycze, w którym znajdują się cukierki czekoladowe i miętowe. Liczba cukierków czekoladowych stanowi 1/10 część wszystkich cukierków. Nadia zjadła dwa cukierki czekoladowe i teraz stanowią one 1/16 część wszystkich cukierków. Ile cukierków miętowych znajduje się w pudełku?
W maju punkty zdobyli:
- 3 – Piotr Celiński SP Fundacji Królowej Świętej Jadwigi, Arseniia Elkina SP 16 Wrocław;
- 2,5 – Jan Abramowicz SP 3 Ścinawa, Nela Bielecka SP Żerniki Wr., Maria Bogner SP Fundacji Królowej św. Jadwigi Wrocław, Mieszko Buczkowski SP 2 Ożarów Mazowiecki, Filip Ćwikła SP 2 Polanica Zdrój Bazyli Dąbrowski SP 2 Polanica Zdrój, Daria Filipczak SP 44 Wrocław, Zuzanna Fita SP 44 Wrocław, Vivien Glatki SP Popielów, Maria Jastrząbek SP „Młody Kopernik” Wałbrzych, Dominik Krzoska SP 3 Mikołów, Daria Filipczak SP 44 Wrocław, Maksymilian Lakota SP Popielów, Tomasz Lechocki SP 3 Ścinawa, Jan Michalak SP 66 Warszawa, Wojciech Pawlik SP im. bł. Celiny Borzęckiej Kraków, Joanna Piątek SP 3 Głuszyca, Aleksandra Płonka SP 44 Wrocław, Leon Płonka SP 44 Wrocław, Franciszek, Magdalena Składowska SP Sióstr Dominikanek Piotrków Trybunalski, Michał Synakiewicz SP Brzoza, Szupiluk SP 133 Warszawa, Antoni Szpajcher SP Popielów, Kalina Tułacz SP 50 Wrocław, Aleksandra Wabińska SP Żerniki Wrocławskie, Piotr Wasiluk SP Amerykańska Gdynia, Liwia Wer SP Dobrzeń Wielki, Zofia Winiarska SP 44 Wrocław, Antoni Zamośny SP z OMiD Leszno;
- 2 – Zuzanna Głowacz SP Popielów, Marie Łobos SP "Młody Kopernik" Wałbrzych, Zofia Nakraszewicz SP 3 Wrocław, Emilia Rutkowska SP 100 STO Warszawa, Jonasz Stawiński SP 100 STO Warszawa, Dagna Tułacz SP 50 Wrocław, Amelia Waindok SP 3 Dobrzeń Wielki;
- 1 – Maciej Budas SP Popielów.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Objętości kostek wynoszą 27 cm3, 8 cm3 i 1 cm3. Ponieważ wszystkie kostki są wykonane z tego samego materiału, ich masa jest proporcjonalna do objętości. Na szalce z lewej strony kostki mają łączną objętość 54 cm3, a z prawej 2 cm3. Różnica ich mas odpowiada zatem objętości 52 cm³. Zauważamy, że liczba dokładanych kostek średnich musi być nieparzysta, w przeciwnym przypadku masa na jednej szalce byłaby liczbą parzystą a na drugiej nieparzystą. Rozpatrzmy dwa przypadki.
I przypadek. Wszystkie 31 kostek dokładamy na prawą (lżejszą) szalkę. Wówczas dokładane kostki muszą mieć łączną objętość 52 cm3. Mamy jedną możliwość - są to 3 kostki średnie i 28 małych.
II przypadek. Kostki można dokładać na obie szalki. Niech: a – liczba małych kostek, b – liczba średnich kostek dołożonych na lewą szalkę oraz c – liczba małych kostek, d – liczba średnich kostek dołożonych na prawą szalkę. Muszą być spełnione równania
a+b+c+d=31 i 54+a+8b=2+c+8d, czyli 52+a+8b=c+8d. W tym przypadku liczba rozwiązań jest większa. Łączna liczba kostek średnich może wynosić 5, 7, 9, …, 23, 25 lub 27, a wtedy odpowiednio liczba kostek małych wynosi 26, 24, 22, …, 8, 6 lub 4.
Rozkład kostek dokładanych na poszczególnych szalkach przedstawia poniższa tabela.
Zad. 2. W XIX wieku były następujące lata o sumie cyfr 24: 1896, 1887, 1878, 1869. W śród nich tylko 1896 może być rokiem pierwszych igrzysk, gdyż żadna z pozostałych nie dzieli się przez 4, a zatem też i przez 24. W XX wieku były następujące lata o sumie cyfr 24: 1995, 1986, 1977, 1968, 1959. W śród nich może być tylko 1968, gdyż żadna z pozostałych nie dzieli się przez 4, więc nie dzieli się również przez 24. 1968-1896=72 lata. W 1896 roku w Atenach odbyły się I Letnie Igrzyska Olimpijskie, a w 1968 roku w mieście Meksyku odbyły się XIX Letnie Igrzyska Olimpijskie.
Zad. 3. Ułamki 1/10 i 1/16 rozszerzamy tak aby licznik i mianownik pierwszego był o 2 większy odpowiednio od licznika i mianownika drugiego. Mamy 1/10=5/50 oraz 1/16=3/48. Skąd wnioskujemy, ze na początku było 5 cukierków czekoladowych i 45 miętowych.
