Zad. 1. Każdemu wierzchołkowi trójkąta przypisujemy pewną liczbę, a każdemu bokowi sumę liczb przypisanych jego końcom. Jakie liczby przypisano wierzchołkom, jeśli bokom przypisane są liczby a, b i c?
Zad. 2. Ile maksymalnie piątków trzynastego może wypaść w ciągu jednego roku kalendarzowego?
Zad. 3. W równoległoboku ABCD połączono odcinkami A ze środkami boków BC i CD. Udowodnij, że odcinki te dzielą odcinek BD na równe części.
Za rozwiązania zadań majowych maksimum (3 pkt.) dostało dziesięcioro zawodników: Daniel Danielski z G 1 w Zgorzelcu, Kamil Flaga z G 1 w Bogatyni, Karol Kaszuba z G 42 w Warszawie, Antoni Machowski z G 52 w Krakowie, Michał Majborski z G 1 w Jaworzynie Śl., Anna Mirowska z G 1 w Ozimku, Karol Sala z ZS 2 w Piotrowicach, Michalina Sieradzka z G 49 we Wrocławiu, Radek Szerląg z G 2 w Oświęcimiu oraz Arkadiusz Wróbel z ZS 2 w Brwinowie.
W czołówce Ligi są:
- 24 pkt. (na 24 możliwe!) Antoni Machowski z G 52 w Krakowie
- 22,5 pkt. Daniel Danielski z G 1 w Zgorzelcu i Arkadiusz Wróbel z ZS 2 w Brwinowie
- 22 pkt. Katarzyna Kaczmarczyk z G 13 w Wałbrzychu, Anna Mirowska z G 1 w Ozimku i Michalina Sieradzka z G 49 we Wrocławiu
- 21,5 pkt. Radosław Szerląg z G 2 w Oświęcimiu
- 20,5 pkt. Karol Kaszuba z G 42 w Warszawie.
Gratulujemy!
Zad. 1. Oto układ warunków równoważnych danym zadania: x+y=a, x+z=b, y+z=c. Na różne sposoby można wyznaczyć niewiadome, otrzymując: x=(a+b-c)/2, y=(a+c-b)/2, z=(b+c-a)/2.
Zad. 2. Jeśli dzień tygodnia, w który wypada Nowy Rok, oznaczymy jedynką, 2 stycznia - dwójką itd., otrzymamy: 13 I - 6, 13 II - 2 (przesunięcie o 3 dni, bo styczeń ma 31=4·7+3 dni, a 6+3=9, czyli dzień tygodnia oznaczony dwójką), 13 III - 2 lub 3, 13 IV - 5 lub 6 itd. (Drugie możliwości dotyczą lat przestępnych). Ostatecznie w ten sam dzień tygodnia wypadają trzynaste dni miesięcy o numerach: I i X, II, III i XI, IV i VII oraz IX i XII w roku zwykłym, a I, IV i VII, II i VIII, III i XI w roku przestępnym, czyli w jednym roku mogą wystąpić najwyżej trzy piątki trzynastego, i jest tak w latach, które rozpoczynają się czwartkiem, czyli np. w roku 2009!...
Zad. 3. Oznaczmy przez E i F środki boków BC i CD, a K i L punkty wspólne BD z odcinkami AE i AF. Kąty trójkątów ABL i DFL są sobie równe, więc ABL i DFL są podobne, a DL/BL = DF/AB = 1/2. Podobnie BK/BL = 1/2, co kończy dowód.
Pytanie do zad. 1
Czy w zadaniu 1 trzeba podać warunki, które muszą spełniać a, b i c, czy należy przyjąć, że są to długości boków trójkąta?
To nie długość
Ależ to nie jest bynajmniej długość boku trójkąta, tylko dowolna liczba (no, raczej musi być rzeczywista). Dla dowolnych wartości a, b i c takie przyporządkowanie jest możliwe.
Dzięki
Dzięki, oczywiście masz rację; a, b i c nie muszą być nawet rzeczywiste.