Zad. 1. Liczby całkowite a, b, c, d spełniają warunek ad–bc = 1. Wykaż, że ułamek (a2+b2)/(ac+bd) jest nieskracalny.
Zad. 2. W pięciokącie wypukłym ABCDE bok AB jest prostopadły do CD, a bok BC jest prostopadły do DE. Ponadto |AB| = |AE| = |ED| = 1. Wykaż, że |BC| + |CD| < 1.
Zad. 3. Okrąg przecina hiperbolę o równaniu xy = 1 w czterech różnych punktach (pi, qi) dla
i ϵ {1, 2, 3, 4}. Udowodnij, że p1p2p3p4 = 1.
W tym miesiącu nie przyznano nikomu punktów za rozwiązania.
Po całym roku szkolnym punktacja prezentuje się następująco:
-
Hanna Osajda, III LO Wrocław - 84 pkt.
- Igor Sudyka, V LO Kraków - 75 pkt.
- Jan Kropidłowski, III LO Wrocław - 10 pkt.
Wszystkim uczestnikom serdecznie gratulujemy!
Zad. 1. Niech m = NWD(a2+b2, ac+bd). Ponieważ (ac+bd)2+(ad–bc)2 = (a2+b2)(c2+d2), m musi dzielić (ad–bc)2 = 1. Wynika z tego, że m=1, czyli badany ułamek jest nieskracalny, cnd.
Zad. 2. Niech K będzie punktem przecięcia prostych AB i CD, a M - punktem przecięcia prostych BC i ED. Oznaczmy przez α miarę kąta BAE, przez β - miarę kąta DEA, a N niech będzie takim punktem na prostej BM, że |BN|=|AB|=1. Niech S będzie punktem przecięcia prostych KD i AN. Wiemy, że α+β < 180°. Bez straty ogólności możemy założyć, że α<90°. Mamy |∡BAN| = (180°–|∡ABN|)/2 = (α+β–90°)/2. Skoro |∡DAE| = (180°–β)/2, to |∡BAN| + |∡DAE| = (90°+α)/2 > α. Oznacza to, że D leży wewnątrz trójkąta ABN. W trójkącie CNS kąt CNS jest ostry, zaś NSC rozwarty, więc |CS|<|CN|. Stąd |BC|+|CD| < |BC|+|CS| < |BC|+|CN| = |BN| = 1.
Zad. 3. Niech punkt o współrzędnych (a, b) będzie środkiem okręgu, a r - długością jego promienia. Wówczas cztery pary współrzędnych podanych w treści zadania spełniają układ równań: (x–a)2 + (y–b)2 = r2, y = 1/x. Stąd pi spełniają równania (x–a)2 + (1/x–b)2 = r2. Ponieważ pi≠0, możemy zapisać równanie czwartego stopnia x2(x–a)2 + (1–bx)2 – r2x2 = 0. Znamy cztery pierwiastki tego równania (p1, p2, p3, p4), więc lewą stronę możemy zapisać jako (x–p1)(x–p2)(x–p3)(x–p4), gdzie liczby pi są parami różne. Na mocy twierdzenia Viete'a zachodzi p1p2p3p4 = 1, cnd.
