Rolling Stones (4) - Matematyczne wyboje

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-15

Autor:

Krzysztof Omiljanowski

pracownik IM UWr

Dział matematyki:

funkcje

geometria analityczna

geometria syntetyczna

Poziom edukacyjny:

szkoła średnia z maturą

Jeśli można wymyślać (zmyślać) rowery o kwadratowych 'kołach', to także można wymyślać drogi, po których tymi rowerami będzie się jeździć jak po stole. Spróbujmy!

Zajmiemy się tylko pojedynczymi kołami.

Na początek zobaczmy 'trójkątne koło' o boku 4. Przeanalizujmy krótki fragment jego ruchu:

Trzęsie, bo 'ośka' (=środek trójkąta) obniża się po łuku pewnego okręgu.
Lekarstwem może być podnoszenie w górę wierzchołka w takim tempie, by zniwelować opadanie 'ośki'.
Zobaczmy na raz 'wszystkie' takie położenia.
Proste zawierające 'prawe' boki trójkątów 'wymoszczą' drogę, po której pojedzie nasz trójkąt. Nie pozostaje nic, tylko zacząć rachować równanie tej linii...
Stop! Tu błąd! Droga jest dłuższa niż połowa boku trójkąta. Trójkąt nie toczy się po tej drodze, lecz musi się po niej ślizgać.
Ponadto wydaje się, że jakakolwiek droga, która ma utrzymać w poziomie środek trójkąta, musi 'ciasno' obejmować wierzchołek w dolnym skrajnym położeniu. Tak ciasno, że uniemożliwi to toczenie trójkąta. Czyżby nie istniała odpowiednia droga dla trójkątnych kół?

Wydaje się, że dla 'kwadratowego koła' ciasno obejmująca je droga nie uniemożliwi toczenia. Spróbujmy to sobie wyobrazić. Zbadajmy 'kwadratowe koło' o boku 2 i krótki fragment jego ruchu, w którym środek (piasta) przesuwa się wzdłuż osi OX

Czego szukamy? Drogi, czyli funkcji y = y(x).

Powinna mieć następujące własności:
- [tex] y(0) = -\sqrt{2} [/tex] ,
- [tex] y'(0) = 1 [/tex] (w punkcie przecięcia z osią OY styczna jest nachylona pod kątem 45^o),
- [tex]y_{\max}=-1 [/tex], największą wartością jest -1,
- wykres ma długość 2 (długość boku kwadratu).

To nie koniec postulatów, jakie powinna spełniać droga.
Niech A = (x,y(x)) będzie pewnym punktem tej drogi. Niech d oznacza długość wykresu od punktu S do A. Powinno być tak, że: jeśli z punktu A 'pójdziemy' wzdłuż stycznej na odległość (1 - d) i potem prostopadle do stycznej na odległość 1, to powinniśmy trafić na punkt osi OX.
(Z rysunku można odczytać dlaczego tak ma być.)

Jak te postulaty przytłumaczyć na równania? (tylko dla dorosłych):

Po tych długich rachunkach dostajemy finalną odpowiedź:
droga składa się z poprzesuwanych fragmentów linii łańcuchowej

$$ y(x)=- \frac{(\sqrt{2}-1)\cdot e^{\phi(x)}+(\sqrt{2}+1)\cdot e^{-\phi(x)}}{2}\;, $$ gdzie $$ \phi(x)=x-\ln(3+2\sqrt{2})\left[\frac{x}{\ln(3+2\sqrt{2})}\right]\;.$$

Warto zauważyć, że środek porusza się stale nad punktami styku 'koła' i drogi
oraz że wierzchołki, po oderwaniu się od drogi, cofają się trochę.

Dodaj komentarz

Nie takie znowu zmyślone

karolina (niezweryfikowany), poniedziałek, 13/07/2009 - 03:28

Bardzo fajny artykuł, ale...
Te matematyczne rovery i matematyczne wyboje nie są znowu takie mocno zmyślone. Na objazdowej wystawie MathMidway w USA można nie tylko obie te rzeczy zobaczyć, ale nawet takimi matroverami na takich matwybojach pojeździć. Polecam film oraz zdjęcia pochodzące ze strony muzeum matematycznego Math Midway w Nowym Jorku.

Odpowiedz

Cudze chwalicie, swego nie znacie

Anonimowy (niezweryfikowany), sobota, 24/12/2011 - 11:10

Nie trzeba szukać aż w Nowym Jorku. Takie samo urządzenie jest dostępne w Krakowie, w Muzeum Inżynierii Miejskiej przy ul. Wawrzyńca, na wystawie "Wokół koła". Niestety, roweru o kwadratowych kołach mogą tam dosiąść jedynie osoby o wadze poniżej 50 kg :(