Zad. 1. Na płaszczyźnie obrano 6 punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Każde dwa punkty połączono odcinkiem niebieskim lub czerwonym. Udowodnij, że istnieje trójkąt o wierzchołkach w wybranych punktach, którego boki są tego samego koloru.
Zad. 2. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p takie, że p2 + 14 jest liczbą pierwszą.
Zad. 3. Przez przeciwległe wierzchołki prostokąta poprowadzono prostopadłe do przekątnej, dzieląc tę przekątną na odcinki długości 1 cm, 2 cm i 1 cm. Oblicz długości boków prostokąta.
Zad. 1. Oznaczmy jeden z danych punktów przez A. Jest on połączony z pięcioma innymi punktami, przy czym (z zasady szufladkowej) co najmniej trzy z tych połączeń są tego samego koloru (dlaczego?). Niech będą to połączenia AB, AC i AD. Załóżmy, że są one niebieskie. Jeżeli odcinek BC też jest niebieski, to ABC jest jednokolorowym trójkątem, jeżeli CD jest niebieski, to ACD jest jednokolorowy, a jeśli DB jest niebieski, to ABD jest jednokolorowy. Moze też się zdarzyć, że żaden z odcinków BC, CD ani DB nie jest niebieski, ale wówczas wszystkie są czerwone i trójkąt BCD jest jednokolorowy.
Zad. 2. Gdy p=2, liczba p2+14=18 i nie jest liczbą pierwszą. Gdy p=3, liczba p2+14=23 jest pierwsza. Każda liczba pierwsza p większa od 3 jest postaci: p=3n+1 lub p=3n+2, gdzie n jest liczbą naturalną. W pierwszym przypadku p+14 = (3n+1)2+14 = 3(3n2+2n+5) nie jest pierwsza. W drugim przypadku p+14 = (3n+2)2+14 = 3(3n2+4n+6) nie jest pierwsza. Zatem jedyną dobrą liczbą p jest 3.
Zad. 3. Trójkąty AED, DEC i ADC są podobne. Zatem AE/DE=DE/EC, a stąd DE=h=√(AE∙EC)=√3. Trójkaty AED i ACD są prostokątne. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy boki AD=2 i DC=2√3.
