Zad. 1. Wartość której z liczb [tex]\sqrt{2}[/tex], [tex]\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex],[tex]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}[/tex], [tex]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}[/tex],... po raz pierwszy przekroczy 2?
Zad. 2. Banknot pokryto 25 monetami o średnicy 2. Czy można go pokryć 100 monetami o średnicy 1?
Zad. 3. Na ile sposobów można uporządkować liczby naturalne od 1 do 100 tak, aby dokładnie 97 z nich znajdowało się na miejscu odpowiadającym tej liczbie?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 - Jakub Dobrzański G 3 Lubin, Kacper Gembara G w ZSS Wołów, Marek Komorowski G 3 Żory, Wiktor Koropczuk G 3 Gorzów Wielkopolski, Oliwia Kropidłowska G 1 Wrocław, Joanna Lisiowska KZE Warszawa, Krzysztof Mach G 52 Kraków, Przemysław Rybarczyk G Integracyjne Stargard, Kacper Słoniec G 52 Kraków, Laura Stefanowska G im. św. Franciszka z Asyżu Legnica i Franciszek Stepek G Społeczne Żary;
- 2 - Maciej Celuch ZSG Stara Błotnica, Konrad Litwiński G 86 Warszawa, Julia Mazur G Lewin Brzeski, Karolina Mielczarek G Lewin Brzeski, Katarzyna Siomka G Lewin Brzeski i Kajetan Walawski G Leżajsk;
- 1 - NN G ???.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Po sześciu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 18 pkt. (na 18 możliwych) prowadzą: Jakub Dobrzański, Wiktor Koropczuk, Oliwia Kropidłowska i Joanna Lisiowska. Drugie miejsce z wynikiem 17,5 pkt. zajmuje Przemysław Rybarczyk. Trzecie miejsce z wynikiem 17 pkt. zajmują: Kacper Gembara, Marek Komorowski i Laura Stefanowska. Gratulujemy!
Zad. 1. Zauważmy, że jeśli każdą z podanych liczb zwiększymy, dodając 2 pod najbardziej 'zagnieżdżonym' pierwiastkiem, dostaniemy:
[tex]\sqrt{2+2}=2[/tex],
[tex]\sqrt{2+\sqrt{2+2}}=2[/tex],
[tex]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2}}}=2[/tex],
[tex]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2}}}}=2[/tex],...
Dlatego żadna z tych liczb nie przekroczy 2.
Zad. 2. Jeśli prostokątny banknot przekształcimy przez podobieństwo o skali k=0,5, to uzyskamy prostokątny obraz banknotu o wielkości ćwiartki banknotu wyjściowego (długości nowych boków będą połowami długości wyjściowych boków). W tym podobieństwie obraz banknotu będzie pokryty 25 monetami o dwa razy mniejszej średnicy niż wyjściowe monety, czyli o średnicy 1. Skoro ćwiartkę wyjściowego banknotu da się pokryć 25 monetami o średnicy 1, to cały banknot da się pokryć setką takich monet.
Zad. 3. Równoważnie wystarczy wybrać trzy liczby ze stu, które ustawimy na miejscach nie odpowiadających ich numerom. Pierwszą z tych liczb wybieramy na 100 sposobów, drugą na 99, a trzecią na 98. Możliwych wyborów jest więc 100·99·98, ale każda trójka liczona jest sześciokrotnie w układach różniących się tylko kolejnością wyboru (bo 3 różne liczby możemy uporządkować na 6 sposobów: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB i CBA), więc różnych możliwych
trójek jest 100·99·98/6 = 161700. Teraz ustawiamy pozostałe 97 liczb na swoich miejscach. Pierwszą z wybranych trzech, aby nie stała na swoim miejscu, można ustawić na dwa sposoby, a to już wyznacza ustawienie pozostałych dwóch liczb. Zatem wszystkich możliwych ustawień spełniających warunki zadania jest 2·161700 = 323400.
