Zad. 1. Znajdź liczby x, które dają się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn dwóch liczb dodatnich a i b takich, że różnica ich logarytmów o podstawie 2 jest równa ilorazowi tych logarytmów, czyli zachodzi [tex]\log_2a-\log_2b=\frac{\log_2a}{\log_2b}[/tex]. Podaj te liczby i odpowiadające im ich przedstawienie jako iloczyn dwóch liczb dodatnich spełniających powyższe.
Zad. 2. Pomiędzy współczynnikami dwóch równań kwadratowych x2+bx+c = 0 i x2+mx+n = 0 zachodzi zależność bm = 2·(c+n). Udowodnij, że wtedy przynajmniej jedno z równań posiada pierwiastek.
Zad. 3. Ile boków musi mieć wielokąt, aby liczba jego przekątnych była k razy większa od liczby boków, gdzie k jest liczbą naturalną?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Robert Czwartosz LO Trzebnica i Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski;
- 2 pkt. - Kamila Bojar ZSP Szprotawa, Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Dawid Hanrahan I LO Brzeg, Szymon Meyer II LO Opole, Piotr Paduszyński SLO Żary i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko;
- 1,5 pkt. - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław i Piotr Jażdżewski I LO Oleśnica.
Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 1,5 punktu.
Po siedmiu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 20,5 pkt. (na 21 możliwych) prowadzi: Tomasz Stempniak. Drugie miejsce z wynikiem 20 pkt. zajmuje: Bartosz Czyżewski. Trzecie miejsce z wynikiem 19,5 pkt. zajmuje Piotr Paduszyński.
Gratulujemy!
Zad. 1. Niech log2x=k, log2a=l, log2b=m. Wtedy zachodzą równości k = l+m oraz l-m = l/m. Eliminując z tych równań l dostaniemy 2m2-m(k+1)+k=0. Wyróżnik tego równania ze względu na jednoznaczność rozwiązania musi wynosić 0, czyli Δm=(k+1)2-8k = 0. Stąd k2-6k+1 = 0 oraz Δk=32, czyli k1=3-2√2, k2=3+2√2. Ponieważ log2x=k, szukanymi liczbami są x1 = 23-2√2 i x2 = 23+2√2. Po obliczeniach dostajemy x1 = a1·b1 = 22-1,5√2·21-0,5√2 oraz x2 = a2·b2 = 22+1,5√2·21+0,5√2.
Wielu uczniów popełniło błąd, odgadując w miarę łatwe rozwiązanie 64=x=a·b=16·4. Oczywiście zachodzi [tex]\log_2 16-\log_2 4=\frac{\log_2 16}{\log_2 4}=2[/tex], ale nie jest to jedyne przedstawienie liczby 64, a rozkład 64 = 24,5·21,5 również spełnia warunki zadania [tex]\log_2 2^{4,5}-\log_2 2^{1,5}=\frac{\log_2 2^{4,5}}{\log_2 2^{1,5}}=3[/tex].
Zad. 2. Wyróżnik pierwszego równania to Δ1 = b2-4c, a drugiego Δ2 = m2-4n. Suma tych wyróżników jest zawsze dodatnia, bo Δ1+Δ2 = b2-4c+m2-4n = b2-2bm+m2 = (b-m)2≥0. A to oznacza, że któryś z nich jest nieujemny, czyli przynajmniej jedno z równań posiada pierwiastek.
Zad. 3. Ponieważ wielokąt o n≥3 bokach ma (n-3)·n/2 przekątne, wystarczy rozwiązać równanie (n-3)·n/2 = k·n. Wówczas stwierdzamy, że wielokąt o n=3+2k bokach ma k·n przekątnych.
